Strona 7

W artykule „Przechodzenie po grafie” przedstawiłem algorytmy służące do przechodzenia po węzłach grafu — DFS (przechodzenie w głąb) oraz BFS (przechodzenie wszerz). Jednak samo odwiedzanie węzłów może wydawać się na pierwszy rzut oka mało przydatne, dlatego przedstawię trzy sposoby, jak można wykorzystać te algorytmy do celów praktycznych. Użyjemy też wszystkie trzy pokazane tam sposoby przechodzenia grafu: rekurencyjny DFS, iteracyjny DFS oraz BFS.

Wiemy, czym są grafy, a także jak zapisujemy je w pamięci komputera. Przejdźmy w takim razie do najbardziej podstawowych algorytmów grafowych — przechodzenie po ich wierzchołkach i krawędziach. Jest to zdecydowanie najprostszy i najbardziej podstawowy temat algorytmiczny związany z grafami, więc opiszę go dość zwięźle.

Ostatnio przedstawiłem, czym są grafy, jakie wyróżniamy i gdzie w informatyce znalazły praktyczne zastosowanie. Tylko skoro stosuje się je w informatyce, to w jaki sposób? Jak je zapisać? Jakie struktury danych używamy do tego celu? W niniejszym artykule odpowiadam na te pytania.

Grafy to jedna z najważniejszych koncepcji matematycznych, które na stałe weszły do świata informatyki. Wielu programistów może nie dostrzegać tego na pierwszy rzut oka, ale znajdziemy je niemal wszędzie. Warto wiedzieć, czym one są i jak działają, niezależnie od tego, czym w świecie IT się zajmujemy. Jest to też temat dość mi bliski, bo zawodowo mam do czynienia z praktycznym zastosowaniem grafów od dłuższego czasu. W tym wpisie opisuję je od strony teoretycznej, aby przedstawić, czym są, skąd się wzięły i przede wszystkim, jakie znalazły zastosowania. Na początku nie przedstawię całej teorii grafów, tylko moim zdaniem jej najważniejsze elementy.

W poprzednim artykule dość szczegółowo opisałem test Millera-Rabina służący do szybkiego sprawdzania pierwszości liczb. Tym razem porównajmy sobie jego działanie z innymi szybkimi, probabilistycznymi testami pierwszości i sprawdźmy, jak wypadają one w porównaniu do bezbłędnej metody naiwnej.

Wiemy już: czym są liczby pierwsze, jak sprawdzać, czy liczba jest pierwsza, jak w najprostszy sposób znajdować je, a także poznaliśmy teorię stojącą za znajdowaniem dużych liczb pierwszych. Przejdźmy zatem do praktyki. Czas napisać algorytm, który w krótkim czasie pozwoli nam znaleźć bardzo duże liczby pierwsze, tak jak to się robi w codziennych zastosowaniach.

Do tej pory przedstawiłem, czym są liczby pierwsze, ich zastosowania, jak możemy sprawdzać pierwszość liczb oraz jak możemy prostymi sposobami znajdować je. Jednak wszystko to, co do tej pory opowiedzieliśmy sobie, jest w dużej mierze zabawą. Jak poruszyłem już na samym początku serii, w kryptografii wykorzystuje się liczby pierwsze 2048-bitowe, więc w systemie dziesiętnym mogą one mieć nawet 617 cyfr. Dowiedzmy się więcej, jak jesteśmy w stanie odkryć tak duże, a nawet i większe liczby pierwsze. Na razie tylko w teorii.

Ostatnio opisałem, czym są liczby pierwsze, a także pokazałem prosty, niemal 800-letni algorytm do ich testowania. Jednak nie kończmy na tym tematu. O liczbach pierwszych można mówić dużo, dlatego kontynuujmy. Tym razem pokażę, jakie mamy najprostsze sposoby na znajdowanie liczb pierwszych.

Liczby pierwsze to jeden z ważniejszych terminów w matematyce, do tego mający dość istotne zastosowanie praktyczne. Na samym początku przygody z tym tematem przedstawmy sobie teorię, a także najprostsze testy pierwszości.

W poprzednim artykule udało nam się narysować, całkowicie algorytmicznie, różne fraktale oraz rośliny o różnych kształtach. Jednak wszystko to było tylko dwuwymiarowe, ale po co tak się ograniczać? Przenieśmy to, co do tej pory poznaliśmy w trzeci wymiar dla jeszcze lepszego efektu.